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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2020, VF, Q5A

Calcule:

  1. ∫ 0 1 4 arcsin ⁡ 2 x d x

  2. ∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Fala, galerinha! Podemos na cara dura aplicar método da integração por partes para nos livrarmos desse arco-seno:

∫ 0 1 4 arcsin ⁡ 2 x d x

u = arcsin ⁡ 2 x d v = d x ⇒ d u = 1 1 - 2 x 2 2 v = x

De forma que:

∫ 0 1 4 arcsin ⁡ 2 x d x = ∫ u d v = u v - ∫ v d u

= x arcsin ⁡ 2 x 0 1 4 - ∫ 0 1 4 2 x 1 - 4 x 2 d x

= x arcsin ⁡ 2 x + 1 2 1 - 4 x 2 0 1 4

= 1 4 arcsin ⁡ 1 2 + 1 2 1 - 4 ⋅ 1 16 - 1 2

= 1 4 ⋅ π 6 + 3 4 - 1 2

= π 24 + 3 4 - 1 2

Resposta

∫ 0 1 4 arcsin ⁡ 2 x d x = π 24 + 3 4 - 1 2

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