UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 1 – Alternativa j)
Calcule:
Passo 1
Pronto para outra? Bora que bora!!!
Essa questão utiliza o método de integração por partes! No entanto, será necessário aplicar o método duas vezes e identificar que esta é uma integração por partes cíclica! Na qual poderemos identificar a integral original e isolá-la! Saca só!
Passo 2
Essa integral tem um formato usual para ser resolvida por partes! Vamos lembrar da seguinte regrinha: LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica, Exponencial), que nos dá uma ordem interessante para escolha de nosso , na fórmula:
A regra do LIPTE nos indica a escolha:
E também:
Vamos aplicar isso na equação (1)! Vem comigo!
Passo 3
Temos que:
Parece que ficou pior, mas, tenha esperança! Vamos tentar aplicar a equação (1) e a regra do LIPTE mais uma vez para a integral que apareceu!! Bora lá!
Passo 4
Temos que:
E também que:
De forma que a equação (1), resulta em:
Para ver como isso nos ajudou, vamos pegar esta expressão e substituir na equação (2), beleza?
Passo 5
Fazendo a substituição que citei temos:
Note que a integral que está dentro dos colchetes é exatamente igual a integral que queríamos resolver inicialmente! Isso é fenomenal porquê podemos fazer o seguinte:
Temos então que:
Ou seja, temos que:
Não esquece da constante de integração, beleza? A alternativa foi isso! Te vejo jajá!!!