UTFPR – Cálculo I – Atividade Avaliativa 3 (AV3) – Parte 1 – 2022.2 – Questão 5.
- Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Partiu resolver mais uma questão pra arrasar na prova?
Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí, mas eu já te adianto que essa não é uma função muito simples de se integrar diretamente. Por isso, uma coisa que podemos fazer antes de começar a integração é tentar melhorar um pouco a cara dessa função e só depois tentar integrar.
Vamos fazer isso abrindo essa função em frações parciais.
Vem comigo ver como fica.
Passo 2
Para reescrever a função em frações parciais, a primeira coisa que devemos fazer é fatorar o denominador. Assim:
Como ele é formado pelo polinómio de segundo grau
Podemos escrevê-lo na forma
Onde e são as raízes da equação
Então, fazendo
As raízes serão:
Assim, podemos reescrever
Na forma
E a nossa função se torna
Show. Agora a ideia é a gente conseguir separar essa função em frações parciais. Vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 3
Como temos dois fatores no denominador, buscamos duas frações do tipo:
E precisaremos descobrir quem é e quem é . Para isso vamos tirar o m.m.c. entre e , que é o próprio , dividir por quem está embaixo e multiplicar por quem está em cima. Ficando com:
Igualando as duas relações
E cortando a parte de baixo, ficamos com:
Agora vamos igualar os termos semelhantes
E
Isso leva ao sistema:
Isolando na primeira equação
E substituindo na segunda equação:
E encontramos:
E
Agora que temos e podemos reescrever nossa função como sendo:
Sei que essa parte é chatinha, mas ao fazer isso nós transformamos aquela função complicada de integrar em duas bem mais simples. Então o que nos resta é integrar essas funções que encontramos. Bora fazer isso.
Passo 4
Nossa integral era
E se transformou em
Podemos separar as integrais e colocar as constantes para fora:
E agora é só integrar.
Passo 5
Basta usarmos a substituição simples em cada uma das integrais.
Vamos fazer isso com a primeira tomando
E fazendo
E
Assim
Voltando para ficamos com:
E de forma análoga podemos resolver a segunda integral
Passo 6
Fazendo
Com
E
Assim
Voltando para ficamos com:
Agora encaixamos nos resultados.
Passo 7
Juntando tudo, temos:
E tcharam!!!
Integral resolvida!
Agora pega esse pique é bora para próxima questão. 😉