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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

  1. Calcule as integrais abaixo:

d. ∫ 0 π e 2 x sin ⁡ 3 x d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um integral definida para resolver.

∫ 0 π e 2 x sin ⁡ 3 x d x

Agora, repara que nessa integral temos o produto de funções de “tipos” diferentes. Temos uma função exponencial e 2 x e uma função trigonométrica sin ⁡ 3 x .

Quando isso acontecer, a dica é utilizar a integração por partes. Para quem não lembra ele tem essa cara aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Agora bora aplicar!

Passo 2

A gente sempre começa definindo quem será a parte u e a parte d v da função. E agora vem a primeira dica para definirmos isso.

Vamos sempre priorizar essa ordem para chamar de u : Logaritmica; Inversa trigonométrica; Polinomial; Trigonométrica; e Exponencial.

Sendo assim, temos que

u = sin ⁡ 3 x → d u = 3 cos ⁡ 3 x d x

Logo,

d v = e 2 x d x → v = 2 e 2 x

Agora vamos para a nossa integral!

Passo 3

Resolvendo de forma indefinida ficamos com

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x

Aplicando a integração por partes ficamos com

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - ∫ 2 e 2 x ( 3 cos ⁡ 3 x ) d x

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 ∫ e 2 x ( cos ⁡ 3 x ) d x

Repara que caímos no mesmo problema! Então vamos aplicar de novo!

Passo 4

Agora temos,

∫ e 2 x cos ⁡ 3 x d x

Vamos chamar

u = cos ⁡ 3 x → d u = - 3 sin ⁡ 3 x d x

Logo,

d v = e 2 x d x → v = 2 e 2 x

Agora vamos para a nossa integral!

∫ e 2 x cos ⁡ 3 x d x = cos ⁡ 3 x 2 e 2 x - ∫ 2 e 2 x - 3 s in ⁡ 3 x d x

∫ e 2 x cos ⁡ 3 x d x = cos ⁡ 3 x 2 e 2 x + 6 ∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x

Opaaaa! Repara que caímos na mesma integral inicial. Então o que fazemos agora?

Passo 5

Vamos organizar todos dados que nós temos! Primeiro achamos

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 ∫ e 2 x ( cos ⁡ 3 x ) d x

Substituindo a parte ∫ e 2 x ( cos ⁡ 3 x ) d x , ficamos com

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 cos ⁡ 3 x 2 e 2 x + 6 ∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 cos ⁡ 3 x 2 e 2 x - 36 ∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x

Passando tudo que é integral para o mesmo lado da igualdade, ficamos com

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x + 36 ∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 cos ⁡ 3 x 2 e 2 x

37 ∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 cos ⁡ 3 x 2 e 2 x

∫ e 2 x sin ⁡ 3 x d x = 1 37 sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 cos ⁡ 3 x 2 e 2 x

Agora vamos para os nosso limites de integração!

Passo 6

Resolvendo,

∫ 0 π e 2 x sin ⁡ 3 x d x = 1 37 sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 6 cos ⁡ 3 x 2 e 2 x π 0

Substituindo,

∫ 0 π e 2 x sin ⁡ 3 x d x = 1 37 0 2 - 6 - 1 2 - 1 37 0 2 - 6 1 2

∫ 0 π e 2 x sin ⁡ 3 x d x = 1 37 12 + 12 = 24 37

Resposta

24 37

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Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x