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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule as integrais:

∫ 1 e x 2 ln ⁡ x   d x

Passo 1

Fala povo! Tudo certo? Então, vo dar uma dica de ouro aqui, toda vez que aparecer uma integral com produto de funções diferentes, desconfie de integração por partes! No caso, temos um polinômio vezes um logaritmo! Segundo a regrinha do LIATE, temos como escolha de u :

u = ln ⁡ x

d v = x 2 d x

Derivando em cima e integrando em baixo:

d u = 1 x   d x

v = x 3 3

E seja a regra de integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Teremos:

∫ x 2 ln ⁡ x   d x = x 3 ln ⁡ x 3 - ∫ x 3 3 1 x   d x

∫ x 2 ln ⁡ x   d x = x 3 ln ⁡ x 3 - ∫ x 2 3   d x

∫ x 2 ln ⁡ x   d x = x 3 ln ⁡ x 3 - x 3 9 = 3 x 3 ln ⁡ x - x 3 9

Passo 2

Ok, mas não para por ai, não ainda! Nossa integral é definida, então precisamos aplicar os limites de integração!

∫ 1 e x 2 ln ⁡ x   d x = 3 x 3 ln ⁡ x - x 3 9 x = 1 x = e

∫ 1 e x 2 ln ⁡ x   d x = 3 e 3 ln ⁡ e - e 3 9 - 3 ln ⁡ 1 - 1 9

∫ 1 e x 2 ln ⁡ x   d x = 3 e 3 - e 3 9 - - 1 9 = 2 e 3 9 + 1 9

Feshow!

∫ 1 e x 2 ln ⁡ x   d x = 2 e 3 + 1 9

Resposta

∫ 1 e x 2 ln ⁡ x   d x = 2 e 3 + 1 9

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