Calcule as integrais indefinidas abaixo

4 8 .   ∫ x ln ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x ln ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ x ln ⁡ x d x

u = ln ⁡ x ,   d u = 1 x d x

d v = x d x ,   v = 2 3 x 3 / 2

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= 2 3 x 3 / 2 ln ⁡ x - ∫ 2 3 x 2 3 . x 1 2 d x   = 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 ∫ x 7 / 6 d x

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito

2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 ∫ x 7 6 d x

= 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 2 3 6 13 x 13 6

= 2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 4 13 x 13 / 6 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

2 3 x 3 2 ln ⁡ x - 4 13 x 13 6 + C  

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