Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Cara, vou te dar uma dica. Guarda no coração: se aparecer esse log simples , e você não enxergar nenhum caso de substituição simples (aparecer a derivada da função e a função no integrando), tenta usar integração por partes, tá?
É o que vamos fazer aqui. Primeiro a gente vai reescrever esse integrando para virar um produto de duas funções:
Vamos começar escolhendo , usando a regrinha LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica, exponencial).
A ideia é que o tipo de função que tem na nossa integral e aparece primeiro nessa regrinha é o . Percebe que a primeira função na regrinha é o log, então ele é o e a gente usa regra da cadeia para achar :
E aí o que sobra a gente chama de e integra para achar :
Passo 2
Aí a gente substitui essas coisas que a gente achou na fórmulinha de integrais por partes:
Passo 3
Apareceu outra integral com para a gente descobrir. Pega aquela dica do começo que você guardou no coração, porque vamos usar de novo!
Nossa integral que precisa ser resolvida agora é:
A gente viu que o log aparece primeiro na regrinha LIATE, então já chamamos ele de :
E aí o que sobra a gente chama de e integra para achar :
Passo 4
Vamos usar a fórmulinha de novo aqui para essa integral
Passo 5
Substituindo esse resultado na nossa primeira integração por partes:
Não pode esquecer do já que é uma integral indefinida. Prontinho!