Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Cara, vou te dar uma dica. Guarda no coração: se tiver um produto entre um polinômio e um cosseno simples (ou um seno simples), tenta usar integração por partes, tá?
É o que vamos fazer aqui. Vamos começar escolhendo , usando a regrinha LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica, exponencial).
A ideia é que o tipo de função que tem na nossa integral e aparece primeiro nessa regrinha é o . Percebe que a primeira função na regrinha é o log. Mas não temos log. Nem temos uma inversa trigonométrica também.
Maaas a gente tem uma função algébrica, que é o mesmo que um polinômio, o que temos no nosso integrando! Então ele é o e a gente usa regra da cadeia para achar :
E aí o que sobra a gente chama de e integra para achar :
Passo 2
Aí a gente substitui essas coisas que a gente achou na fórmulinha de integrais por partes:
Passo 3
Apareceu outra integral para a gente descobrir. Repara que ela é um produto entre um polinômio e um seno. Pega aquela dica do começo que você guardou no coração, porque vamos usar de novo!
Nossa integral que precisa ser resolvida agora é:
A gente viu que o polinômio aparece primeiro na regrinha LIATE, então já chamamos ele de :
E aí o que sobra a gente chama de e integra para achar :
Passo 4
Vamos usar a fórmulinha de novo aqui para essa integral
E a nossa primeira integração por partes fica:
Passo 5
Mas lembra que nossa integral é definida. Então precisamos aplicar os extremos de integração:
Como e .
Prontinho!