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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Arthur Fontana - Lista 3, Questão 6.20

Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

20)

∫ x ln ⁡ x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x ln ⁡ x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x ln ⁡ x ≥ 0 ;

  2. x ln ⁡ x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x ln ⁡ x   d x

Fazendo a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x d x

d v = x d x ∴ v = x 2 2

Logo, temos:

= u v - ∫ v   d u ∴

= x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 2 * 1 x   d x ∴

= x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2   d x ∴

= x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x ln ⁡ x   d x ∴

Fazendo a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ x ∴ d u = 1 x d x

d v = x d x ∴ v = x 2 2

Logo, temos:

= - u v - ∫ v   d u ∴

= - x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 2 * 1 x   d x ∴

= - x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2   d x ∴

= - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x ln ⁡ x   d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C ,   p a r a   x ln ⁡ x ≥ 0 - x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C ,   p a r a   x ln ⁡ x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x ln ⁡ x   d x = x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C ,   p a r a   x ln ⁡ x ≥ 0 - x 2 2 ln ⁡ x - x 2 4 + C ,   p a r a   x ln ⁡ x < 0

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