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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Arthur Fontana - Lista 3, Questão 6.24

Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

24)

∫ x e 2 x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x e 2 x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x e 2 x ≥ 0 ;

  2. x e 2 x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x e 2 x   d x

Fazendo u = 2 x ∴ d u = 2 d x , temos:

∫ x e 2 x   d x = 1 2 ∫ u 2 e u d u = 1 4 ∫ u e u d u

Fazendo a integração por partes, temos:

z = u ∴ d z = d u

d v = e u d x ∴ v = e u

Logo, temos:

= 1 4 z v - ∫ v   d z ∴

= 1 4 e u u - ∫ e u   d x ∴

= 1 4 e u u - e u ∴

= 1 4 e u u - 1 ∴

= e 2 x 2 x - 1 4 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x e 2 x   d x ∴

Fazendo u = 2 x ∴ d u = 2 d x , temos:

∫ x e 2 x   d x = 1 2 ∫ u 2 e u d u = 1 4 ∫ u e u d u

Fazendo a integração por partes, temos:

z = u ∴ d z = d u

d v = e u d x ∴ v = e u

Logo, temos:

= - 1 4 z v - ∫ v   d z ∴

= - 1 4 e u u - ∫ e u   d x ∴

= - 1 4 e u u - e u ∴

= - 1 4 e u u - 1 ∴

= - e 2 x 2 x - 1 4 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x e 2 x   d x = e 2 x 2 x - 1 4 + C ,   p a r a   x e 2 x ≥ 0 - e 2 x 2 x - 1 4 + C ,   p a r a   x e 2 x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x e 2 x   d x = e 2 x 2 x - 1 4 + C ,   p a r a   x e 2 x ≥ 0 - e 2 x 2 x - 1 4 + C ,   p a r a   x e 2 x < 0

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