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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Arthur Fontana - Lista 3, Questão 6.23

Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

23)

∫ x 2 e x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x 2 e x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x 2 e x ≥ 0 ;

  2. x 2 e x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x 2 e x   d x

Fazendo a integração por partes, temos:

u = x 2 ∴ d u = 2 x d x

d v = e x d x ∴ v = e x

Logo, temos:

= u v - ∫ v   d u ∴

= x 2 e x - ∫ e x   2 x   d x ∴

= x 2 e x - 2 ∫ e x   x   d x

Aplicando novamente a integração por partes, temos:

= x 2 e x - x e x - ∫ e x   d x ∴

= x 2 e x - x e x - e x ∴

= e x x 2 - x + 1 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x 2 e x   d x ∴

Fazendo a integração por partes, temos:

u = x 2 ∴ d u = 2 x d x

d v = e x d x ∴ v = e x

Logo, temos:

= - u v - ∫ v   d u ∴

= - x 2 e x - ∫ e x   2 x   d x ∴

= - x 2 e x - 2 ∫ e x   x   d x

Aplicando novamente a integração por partes, temos:

= - x 2 e x - x e x - ∫ e x   d x ∴

= - x 2 e x - x e x - e x ∴

= - e x x 2 - x + 1 + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x 2 e x   d x = e x x 2 - x + 1 + C ,   p a r a   x 2 e x ≥ 0 - e x x 2 - x + 1 + C ,   p a r a   x 2 e x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x 2 e x   d x = e x x 2 - x + 1 + C ,   p a r a   x 2 e x ≥ 0 - e x x 2 - x + 1 + C ,   p a r a   x 2 e x < 0

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