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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule as integrais:

a) ∫ x   s e n 2 x   d x

Passo 1

a) Vamos fazer integração por partes ok? Porque a gente tem a multiplicação de duas funções: x e s e n ( 2 x ) . Escolhendo u = x e d v = s e n ( 2 x ) d x , temos:

d u = 1 d x

v = ∫ s e n ( 2 x ) d x = - cos ⁡ 2 x 2

Passo 2

Usando a formulazinha da integração por partes:

∫ x   s e n 2 x   d x = u . v - ∫ v . d u

∫ x   s e n 2 x   d x = x . - cos ⁡ 2 x 2 - ∫ - cos ⁡ 2 x 2 . 1   d x

∫ x   s e n 2 x   d x = - x . cos ⁡ 2 x 2 + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x

Resolvendo a integral ∫ cos ⁡ 2 x d x :

∫ x   s e n 2 x   d x = - x . cos ⁡ 2 x 2 + s e n 2 x 4 + C

Resposta

a) ∫ x   s e n 2 x   d x = - x . cos ⁡ 2 x 2 + s e n 2 x 4 + C

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