Integração por Partes
Calcule a integral abaixo:
Passo 1
Esse é um exemplo clássico de integração por partes. A fórmula é dada por:
Onde e são duas funções integráveis quaisquer.
Passo 2
Para determinar quem é e quem é precisamos observar que:
- vai ser substituído por sua derivada
- vai ser substituído por sua antiderivada
Ou seja, vamos pensar: para a função vale mais à pena ser ou ser ? Se ela for , vai entrar na fórmula a sua antiderivada:
Obs.: Não se preocupe com a constante agora
Isto viria a facilitar nossa vida? Parece que não, pois o grau do polinômio subiu. Agora vamos ter um problema mais complicado.
Passo 3
Em contrapartida poderíamos ter como . Neste caso entraria na fórmula a sua derivada:
Mais fácil? Sim, temos um problema mais simples em mãos! Ou seja, neste caso temos:
Obs.: Continue não se importando com a constante ainda. Ela pode entrar só no final.
Passo 4
Substituindo:
Arrumando:
Agora temos uma nova integral indefinida em mãos.
Passo 5
Vamos resolvê-la pelo mesmo método de antes! =D
Fazendo uma nova separação:
Pela mesma lógica de antes, queremos abaixar o grau do polinômio:
Passo 6
Substituindo:
Integrando a última integral:
Substituindo tudo de volta: