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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

  1. Calcule a integral

∫ 1 2 x 2 ∙ ln ⁡ x d x

Passo 1

Bora então calcular essa integral definida aí, neh!

Vou te dar um bizu: toda vez que você ver esse tipo de integral... um l n vezes um x ... cara, integração por partes!

Isso porque derivando o l n simplifica muita coisa, vem comigo.

Passo 2

Então aplicando a integração por partes, ou seja, vamos tomar o x 2 para integrar e l n para derivar...

u = ln ⁡ x                   →                     d u = 1 x

d v = x 2 d x               →                   v = x 3 3

Aplicando a fórmula de integração por partes...

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Comparando com o que a gente tem, ganhamos...

∫     x 2 ∙ ln ⁡ x d x = x 3 3 ∙ ln ⁡ x - ∫ x 3 3 ∙ 1 x d x

Simplificando...

∫     x 2 ∙ ln ⁡ x d x = x 3 3 ∙ ln ⁡ x - ∫ x 2 3 d x

Calculando aquela integral de lá

∫     x 2 ∙ ln ⁡ x d x = x 3 3 ∙ ln ⁡ x - 1 3 x 3 3 =

x 3 3 ∙ ln ⁡ x - x 3 9

Passo 3

Bem, o que a gente calculou foi a integral geral sem os limites de integração, então aplicando esses limites...

∫ 1 2 x 2 ∙ ln ⁡ x d x = x 3 3 ∙ ln ⁡ x - x 3 9 1 2

Substituindo esses limites...

∫ 1 2 x 2 ∙ ln ⁡ x d x = 2 3 3 ∙ ln ⁡ 2 - 2 3 9 - 1 3 3 ∙ ln ⁡ 1 - 1 3 9 →

Lembrando que ln ⁡ 1 = 0

∫ 1 2 x 2 ∙ ln ⁡ x d x = 8 3 ∙ ln ⁡ 2 - 8 9 - - 1 9 →

∫ 1 2 x 2 ∙ ln ⁡ x d x = 8 3 ∙ ln ⁡ 2 - 8 9 + 1 9       →

∫ 1 2 x 2 ∙ ln ⁡ x d x = 8 3 ∙ ln ⁡ 2 - 7 9

Resposta

8 3 ∙ ln ⁡ 2 - 7 9

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