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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ log 3 ⁡ x 2 d x

Passo 1

Podemos usar aqui a integração por partes. Ué, mas só tem log aí! Não tem problema, podemos fazer assim mesmo. Usando o LIATE:

u = log 3 ⁡ x 2 v = x d u = 2 log ⁡ x x ln ⁡ 3 2 d x d v = d x

Sendo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituímos e temos:

∫ log 3 ⁡ x 2 d x = x log 3 ⁡ x 2 - ∫ x 2 log ⁡ x x ln ⁡ 3 2 d x

Passo 2

Vamos analisar essa nova integral aí. Podemos começar tirando a constante: ∫ x 2 log 3 ⁡ x x ln ⁡ 3 2 d x = 2 ln ⁡ 3 2 ∫ log 3 ⁡ x d x

Usamos a integração por partes e reduzimos o grau do log. Não vamos mexer em time que está ganhando e usemos-a novamente:

u = log 3 ⁡ x v = x d u = 1 x ln ⁡ 3 d x d v = d x

Substituindo:

∫ log 3 ⁡ x d x = x log 3 ⁡ x - 1 ln ⁡ 3 ∫ x x d x =

x log 3 ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 3 ∫ d x = x log 3 ⁡ x - x ln ⁡ 3

Passo 3

Agora é só substituir e lembrar do C :

∫ log 3 ⁡ x 2 d x = x log 3 ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ 3 2 x log 3 ⁡ x - x ln ⁡ 3 + C

Resposta

∫ log 3 ⁡ x 2 d x = x log 3 ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ 3 2 x log 3 ⁡ x - x ln ⁡ 3 + C

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