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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Partes

Calcule:

∫ 0 1 x   3 x   d x

Passo 1

Nesse caso teremos que fazer uma manipulação na expressão antes de começar a integrar efetivamente!! E então, reescreveremos a integral da seguinte maneira:

∫ 0 1 x   3 x   d x = ∫ 0 1 x   e ln ⁡ 3 x   d x = ∫ 0 1 x   e x ln ⁡ 3   d x

Pois toda expressão pode ser reescrita dessa forma sem alterar seu valor!! Lembre que compusemos a função exponencial com a função logarítmica, e como elas são funções inversas, NÃO alteramos o valor da expressão!!!

Passo 2

Escolhendo a substituição t = x ln ⁡ 3 →   t ln ⁡ 3 = x , teremos d t ln ⁡ 3 = d x . E nossa expressão ficará:

∫ t e t   d t ln 2 ⁡ 3

Passo 3

Agora temos que resolver a integral indefinida:

∫ t e t   d t ln 2 ⁡ 3

Que será resolvida por partes!!!! Escolhendo t = u → d t = d u , escolheremos também e t   d t = d v → e t = v . E reescreveremos a integral da seguinte maneira:

∫ t e t   d t = t e t - ∫ e t   d t = t e t - e t + C = e t t - 1 + C

∫ t e t   d t ln 2 ⁡ 3 = e t t - 1 ln 2 ⁡ 3 + C

E voltando pra variável original, vamos ter:

∫ 0 1 x   3 x   d x = e x ln ⁡ 3 x ln ⁡ 3 - 1 0 1 ln 2 ⁡ 3 = 1 ln 2 ⁡ 3 ( 3 ln ⁡ 3 - 2 )

Resposta

∫ 0 1 x   3 x   d x = 1 ln 2 ⁡ 3 ( 3 ln ⁡ 3 - 2 )

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