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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

P-REC – Cálculo 1 – USP – 2022 – Questão 4a

Calcule as primitivas abaixo:

a)

∫ x 2 e x d x

Passo 1

Faaala galerinha da USP... questão de integral com duas funções que não conversam muito entre si... Isso tem cara de integral por partes, bora lá?

Só lembrando, na integração por partes, temos uma integral do tipo:

∫ u d v

E resolvemos ela fazendo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O lance aqui é saber escolher bem o seu u e o seu d v , para isso, usamos o famoso LIATE:

Logarítmica, Inversa trigonométrica, Aritmética, Trigonométrica e Exponencial.

Dessa forma, vou escolher como u = x 2 , pois ela é uma aritmética e como d v = e x d x pois e x é uma exponencial, bora lá!

Passo 2

Beleza, se u = x 2 , então

d u d x = d x 2 d x

d u = 2 x d x

E como d v = e x d x , então temos:

∫ d v = ∫ e x d x

v = e x

Show, com isso fazemos:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

E agora, vamos precisar integrar por partes de novo, usando:

u = 2 x → d u = 2 d x

d v = e x d x → v = e x

Substituindo na expressão, teremos:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

= x 2 e x - 2 x e x - ∫ e x 2 d x

= x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

Cuidado pra não esquecer da constante hein!

Resposta

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

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