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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 2 – Alternativa i)

Calcule:

i )   ∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Para identificarmos o que fazer nesta questão, vamos primeiro abrir um pouco o nosso enunciado:

∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ sec ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x

Por quê eu fiz isso? Isso não nos deixa no formato de nenhuma integral usual! Mas como sempre digo, na dúvida, tentemos por partes! Bora lá!

Passo 2

Se usarmos que u = sec ⁡ ( x ) e d v = sec 2 ⁡ ( x ) , temos que:

d u d x = d d x sec ⁡ ( x ) = d d x 1 cos ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x )

Ou seja,

d u = tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) d x

E para o v , temos:

v = ∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x = tan ⁡ ( x )

de forma que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Nos resulta em

∫ sec ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 3 ⁡ x d x = tan ⁡ x sec ⁡ ( x ) - ∫ tan 2 ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) d x

Precisamos dar um jeito nesta segunda integral! Bora lá!

Passo 3

Vamos utilizar que:

tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x ) →   tan 2 ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) - 1       ( 1 )

O nosso integrando fica então:

∫ tan 2 ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 2 ⁡ ( x ) - 1 sec ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x - ∫ sec ⁡ ( x ) d x

Ficou esquisito! Mas tem uma coisinha ali que é bem conveniente! Consegue enxergar?

Passo 4

Vamos substituir de volta em nossa integral original, temos que:

∫ sec 3 ⁡ x d x = tan ⁡ x sec ⁡ ( x ) - ∫ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x d x → ∫ sec 3 ⁡ x d x = tan ⁡ x sec ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ ( x ) d x

Na segunda igualdade podemos isolar a integral de secante ao cubo! Saca só:

2 ∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x = tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) + ∫ sec ⁡ ( x ) d x

E como temos que:

∫ sec ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ sec ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( x ) + C

Ou seja:

∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x = 1 2 tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( x ) + C

Essa questão foi! Bora para próxima! hehehehe

Resposta

∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x = 1 2 tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( x ) + C

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