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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 7

Calcule a seguinte integral usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:

∫ x 5 e x 2 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos dar uma olhada o que pede o nosso exercício:

∫ x 5 e x 2 d x

Bom, o nosso enunciado pede que a gente comece por um método de substituição. Então vamos lá:

u = x 5 → d u = 5 x 4 d x

u = x 5 → x = u 5

Substituindo:

∫ x 5 e x 2 d x = ∫ u e x 2 d u 5 x 4 = 1 5 ∫ u e u 2 5 d u u 4 5

1 5 ∫ u e u 2 5 d u u 4 5 = 1 5 ∫ u 1 5 e u 2 5 d u

Passo 2

Ok, mas ainda precisamos simplificar mais a nossa integral, então vamos usar de novo o método da substituição:

1 5 ∫ u 1 5 e u 2 5 d u

v = u 2 5 → d v = 2 5 u 3 5 d u

Substituindo:

1 5 ∫ u 1 5 e u 2 5 d u = 1 5 ∫ u 1 5 e v 5 u 3 5 2 d v = 1 5 ∫ 5 u 4 5 e v 2 d v

1 5 ∫ 5 u 4 5 e v 2 d v = 5 10 ∫ u 4 5 e v d v = 1 2 ∫ v ² e v d v

Ufa, conseguimos resolver todo aquele expoente em fração. Agora sim, vamos poder usar a integração por partes.

Passo 3

Show, vamos pegar aqui a nossa integral

1 2 ∫ v ² e v d v

Aqui usaremos a integração por partes:

∫ t d θ = t θ - ∫ θ d t

Ok, com isso, vamos dizer que:

t = v 2 → d t = 2 v d v

d θ = e v d v → θ = e v

Substituindo:

1 2 ∫ v ² e v d v = 1 2 v 2 e v - ∫ e v 2 v d v

1 2 ∫ v ² e v d v = 1 2 v 2 e v - 2 ∫ e v v d v

1 2 ∫ v ² e v d v = v 2 e v 2 - ∫ e v v d v

Resolvendo:

1 2 ∫ v ² e v d v = v 2 e v 2 - e v v + e v

Show, mas precisamos voltar para x :

v = u 2 5

u = x 5

Substituindo, vamos ter que:

v = x ²

Logo:

∫ x 5 e x 2 d x = x 4 e x ² 2 - e x ² x ² + e x ² + C

Resposta

∫ x 5 e x 2 d x = x 4 e x ² 2 - e x ² x ² + e x ² + C

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