UFSCAR. Séries e Equações Diferenciais. Lista 1. Prof. Thais Dalbelo. Questão 2e.
2 - Calcule as seguintes integrais.
e)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão, nosso objetivo é calcular a integral de . Porém para calcular essa integral é necessário aplicarmos algumas técnicas de integração pois apenas pelo teorema fundamental do cálculo não podemos obter esse resultado!
Qual técnica podemos aplicar nesse caso?
Analisando a função de integração, vemos que ela é composta pelo produto de duas funções e , assim, como uma análoga da regra do produto para as derivadas, podemos aplicar o método de integração por partes.
Esse método consiste em separar parte da integral como e a outra parte como , assim podemos aplicar a fórmula
Bora ver como esse método fica no nosso caso? 😁
Passo 2
Se considerarmos e , derivando e integrando , vamos obter ambas pelo teorema fundamental do cálculo.
Logo, temos
Montando nossa formulinha...
Aqui chegamos em um ponto que temos que ter um pouco de atenção. Temos que fazer a mesma análise que acabamos de fazer para a integral de .
Aplicando o método de integração por partes com e ...
Substituindo em ...
Ué! Mas aí chegamos na integral que tínhamos anteriormente! 🤔
Vamos entrar em um looping?
Passo 3
Aqui vem o famoso pulo do gato!
Vamos isolar em um lado da igualdade passando o do lado direito para o lado esquerdo
Assim, temos que
E essa é o resultado da integral que tínhamos que calcular! Interessante, não é? 👀
Não se esqueça da constante de integração .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
