UFSCAR. Séries e Equações Diferenciais. Lista 1. Prof. Thais Dalbelo. Questão 2d.
2 - Calcule as seguintes integrais.
d)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nosso objetivo aqui é calcular a integral de , mas pra isso temos que usar algum método de integração pois a função de integração é composta pelo produto de duas outras funções e .
Tem ideia de qual técnica podemos aplicar aqui? 🤔🤔
A princípio, poderíamos pensar no método de substituição, mas se fizermos isso, não seria muito prático pois não poderíamos já que não seria possível substituir na derivada de .
Então nos resta aplicar o método de integração por partes, um análogo da regra do produto nas derivadas.
Esse método consiste em substituir parte da função de integração por e parte por , dessa forma aplicando a formulinha
Bora ver como fica no nosso caso? 😁
Passo 2
Se nossa integral é , vamos chamar de e
Assim, e são obtidos derivado e integrando
Temos que dar uma atenção especial em por ali temos uma integral de uma função composta. Agora sim podemos aplicar o método de substituição eu nada mais é do que substituir nossa variável por outra!
Fazendo , derivando vamos obter
Isolando ...
Assim, poderá ser obtido como
Pelo teorema fundamental do cálculo a integral de é , logo
Não podemos deixar o resultado em função de , então voltamos para .
Entendeu essa parte? 👀
Passo 3
Agora sim podemos aplicar a integração por partes a partir da fórmula
Dado que
Ou seja
Na integral de , temos que aplicar o método de substituição também, fazendo .
Já sabemos que , nesse caso, então...
Pelo teorema fundamental do cálculo a integral de é igual a , ou seja
Não podemos deixar o resultado em função de , então voltamos para
Não podemos esquecer da constante ! E está ponta nossa integral! 😉
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
