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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

a) Calcule as seguintes integrais definidas:

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x

Passo 1

Bora lá calcular essa integral. Como temos funções de tipo diferentes sendo multiplicadas:

1 x 2

ln ⁡ x

Talvez seja interessante a gente usar a integração por partes, beleza? Vamos testar então. Sendo a integração por partes feita:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

Vamos ter que escolher primeiro f e d g . Se fizermos:

f = ln ⁡ x → d f d x = 1 x → d f = d x x

d g = d x x 2 → g = - 1 x

Substituimos então na fórmula da integração por partes:

∫ ln ⁡ x x 2   d x = - ln ⁡ x x + ∫ d x x 2

E olha só! Não é que ajudou? A gente pode até ter ficado com outra integral pra resolver, mas essa é mais fácil porque não tem nenhum ln ⁡ x nela! Bora calcular então essa integral indefinida:

∫ d x x 2 = ∫ x - 2 d x = - x - 1 = - 1 x

E fechamos a integral indefinida:

∫ ln ⁡ x x 2   d x = - ln ⁡ x x - 1 x

Passo 2

Ok, mas não acabou ainda. O enunciado pede uma integral definida e não indefinida? Po, só aplicar os limites de integração e partir pro abraço! Vamos ter:

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x =   - ln ⁡ x x - 1 x x = 1 x = 2

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ 2 2 - 1 2 - - ln ⁡ 1 1 - 1 1  

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x = - ln ⁡ 2 2 - 1 2 + 1  

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x = 1 2 - ln ⁡ 2 2  

Resposta

∫ 1 2 ln ⁡ x x 2 d x = 1 2 - ln ⁡ 2 2  

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