Calcule as seguintes integrais:

b) ∫ x 3 ln ⁡ x

Passo 1

Fala aí turminha da UNICAMP, tudo bem? Vamos detonar essa questão! Pra nossa integral usaremos o método de integração por partes! . Você sabe como a gente aplica esse método? Bora lá que a gente resolve. Pra qualquer integral, podemos encaixar ela nesse formato:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Então a gente só precisa achar quem é u e quem é v dentro da nossa função. A escolha mais sábia é a gente sempre optar por colocar:

u = ln ⁡ x

d v = x 1 / 3   d x

Calculando d u e v :

d u = 1 x   d x

v = 3 x 4 / 3 4

Por que nossa integral entra perfeitamente no formato:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Que fica:

∫ ln ⁡ x x 1 3   d v = ln ⁡ x ⋅ 3 x 4 / 3 4 - ∫ 3 x 4 / 3 4 ⋅ 1 x   d x

Passo 2

Desenvolvendo essa integral, obtemos:

ln ⁡ x ⋅ 3 x 4 3 4 - ∫ 3 x 4 3 4 ⋅ 1 x   d x = 3 4 x 4 3 ln ⁡ x - ∫ x 1 / 3   d x  

= 3 4   x 4 3 ln ⁡ x - 9 x 4 3 16 + C

Que ainda podemos simplificar para:

= 3 16 x 4 3 4 ln ⁡ x - 3 + C

Resposta

= 3 16 x 4 3 4 ln ⁡ x - 3 + C

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