UFPE – Cálculo 1 – Provas Antigas – 2° EE – 2021.2 – Questão 2a
Calcule as seguintes primitivas:
Passo 1
Falaaaa ai, galerinha! Hoje vamos responder uma questão boa de prova, literalmente hahaha.
A questão de cálculo quer que calculemos o valor da integral indefinida:
Bom, quando temos uma integral indefinida que é aquela que não possui intervalos de integração. Temos que ao resolver esse tipo de integral encontraremos uma função dita primitiva.
Onde,
: É uma função conhecida, nessa questão é ;
: É a primitiva de ;
Então nesse probleminha devemos justamente encontrar a nossa função primitiva correspondente. Belezinha?! E como poderemos encontrar essa função??
Passo 2
Sabemos que existe um montão de técnicas e jeitos de se resolver integrais indefinidas de acordo com o tipo de função que temos inicialmente. Bom, nessa questão a nossa função é formada pelo produto de outras duas funções, logo, teremos que utilizar a técnica de integração por partes.
A fórmula de integração por partes diz que:
Tá, mas pera aí! O que vai ser esse ?? Para determinarmos quem será cada um dos termos de acordo com a nossa função inicial segue uma ideia de que o será a função do produto de funções que é mais fácil de derivar. Já o é a função do produto de funções que é mais fácil de integrar. E é claro que o Responde Aí, tem um macete para te ajudar nisso.
Vamos escolher o respeitando a seguinte ordem: LIATE. Vamos relembrar juntos o que significa essa ordem? Ela é dada de acordo com a ordem das primeiras letrinhas. Bom, temos:
Logarítmica:
Inversa trigonométrica:
Algébrica (ou polinomial):
Trigonométrica:
Exponencial:
Assim, nosso e o .
Aproveitando que já encontramos o vamos calcular agora quem serão os nossos já que precisaremos deles também para utilizar na fórmula o passo anterior.
Derivando essa função...
E
Utilizando a integração..
Vamos precisar utilizar essa estratégia de integral para polinômios com o intuito de encontrar nosso .
Encontramos todos os ingredientes basta agora utilizarmos à receitinha de bolo!
Passo 3
Sendo,
Substituindo com os dados da nossa questão, encontramos que:
Retirando as constantes de dentro da integral, temos:
E utilizando novamente que
Obtemos,
Arrumando a nossa expressão, encontramos essa função primitiva lindona:
Ahh, e porque apareceu esse ?? Lembra que estamos resolvendo uma integral indefinida? Então, temos que adicionar essa constante de integração uma vez que não temos os limites de integração.
Showw?! Bora praticar mais!