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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

12.1 Calcule ∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t   sem usar integração por partes dezenas de vezes.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t .

Como temos a multiplicação de duas funções bem diferentes, uma boa tática é usar integração por partes.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Usando integração por partes:

u = e 20 t → d u = 20 e 20 t d t

d v = sen ⁡ 23 t d t → v = - cos ⁡ 23 t 23

Então:

∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - e 20 t cos ⁡ 23 t 23 - ∫ - cos ⁡ 23 t 23 ( 20 e 20 t d t )

∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - e 20 t cos ⁡ 23 t 23 + 20 23 ∫ e 20 t cos ⁡ 23 t d t

Passo 3

Usando integração por partes, de novo, pra resolver ∫ e 20 t cos ⁡ 23 t d t :

u = e 20 t → d u = 20 e 20 t d t

d v = cos ⁡ 23 t d t → v = sen ⁡ 23 t 23

Então:

∫ e 20 t cos ⁡ 23 t d t = e 20 t sen ⁡ 23 t 23 - ∫ sen ⁡ 23 t 23 20 e 20 t d t

∫ e 20 t cos ⁡ 23 t d t = e 20 t sen ⁡ 23 t 23 - 20 23 ∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t

Passo 4

Substituindo na equação do final do passo 2:

∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - e 20 t cos ⁡ 23 t 23 + 20 23 e 20 t sen ⁡ 23 t 23 - 20 23 ∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t

∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - e 20 t cos ⁡ 23 t 23 + 20 e 20 t sen ⁡ 23 t 529 - 400 529 ∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t

∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t + 400 529 ∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - e 20 t cos ⁡ 23 t 23 + 20 e 20 t sen ⁡ 23 t 529

929 529 ∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - e 20 t cos ⁡ 23 t 23 + 20 e 20 t sen ⁡ 23 t 529

∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - 23 e 20 t cos ⁡ 23 t 929 + 20 e 20 t sen ⁡ 23 t 9 29

Como é integral indefinida, então adicionamos a constante no final:

∫ e 20 t sen ⁡ 23 t d t = - 23 e 20 t cos ⁡ 23 t 929 + 20 e 20 t sen ⁡ 23 t 929 + C

Resposta

- 23 e 20 t cos ⁡ 23 t 929 + 20 e 20 t sen ⁡ 23 t 929 + C

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