UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 2 – Alternativa k)
Calcule:
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Para resolver esta questão precisamos diminuir aquele expoente do seno! Para fazer isso é bastante conveniente utilizarmos a relação de ângulo duplo, esta sendo:
Vamos começar por aí então!
Passo 2
Temos que:
Distribuindo alguns termos, temos que:
Ou
Beleza! Essa é a nossa primeira parte! Note que isso nos deu uma integral que já é conhecida, mas temos agora duas integrais problemáticas! Vamos trabalhar elas individualmente! Convenientemente, vou começar pela terceira! Bora lá!
Passo 3
Se utilizarmos que:
Temos que
Vamos voltar em nossa equação (2), temos que:
Juntando alguns termos, temos então:
A integral do cosseno ao quadrado pode ser tratada de maneira similar a que começamos! Bora lá!
Passo 4
Usando a seguinte relação para o cosseno:
Nossa integral fica então como:
Reescrevendo-a de uma forma mais bonitinha, temos:
Vamos resolver primeiro a última integral!
Passo 5
Para esta integração precisamos utilizar uma substituição simples em que , portanto:
E usando que:
Ou em nossa variável original, temos:
Vamos voltar isso na equação (3). Bora que Bora!
Passo 6
Temos que:
Usando que:
E que:
E
Temos, juntando tudo, que:
Simplificando tudo:
A questão é isso! Te vejo na próxima! hehehe