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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Origem do Exercício

Calcule:

∫ x e x   d x

Passo 1

Já que temos um produto de duas funções, vamos tentar usar a integração por partes. Lembra da fórmula para esse método?

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . O melhor a fazer nesse caso é:

u = x         ⇒         d u d x = 1

d v = e x d x         ⇒           v = e x

Se o motivo dessa escolha não estiver claro para você ainda, não se preocupe, no final vamos ver que essa é a melhor opção mesmo.

Passo 2

Substituindo isso tudo na fórmula, chegamos na seguinte situação:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x e x   d x = x e x -   ∫ e x 1 d x

∫ x e x   d x = x e x - ∫ e x d x

∫ x e x   d x = x e x - e x + C

Viu? Chamamos o x de u porque ele deixa a integral da fórmula bem fácil de resolver quando fazemos d u d x = 1 . Agora é só arrumar um pouco:

∫ x e x   d x = e x x - 1 + C

Pronto!

Resposta

A integral é e x x - 1 + C

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