Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Ver Teoria
Exercício 145123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

IME, Cálculo 1, 2020, VE2, Q2

Determinar o valor da integral

∫ 4 - u 2 5 d u

Obs.: para solução deve ser usado inicialmente o método de integração por partes e, pelo menos uma vez, o método da substituição.

Passo 1

Certo, galerinha, vamos começar com o método da integração por partes como o enunciado pede para a forma geral:

I k = ∫ 4 - u 2 k / 2 d u

m = 4 - u 2 k 2 d n = d u ⇒ d m = k 2 4 - u 2 k - 2 2 ( - 2 u ) d u n = u

⇒ d m = - k u 4 - u 2 k - 2 2 d u n = u

De forma que:

∫ 4 - u 2 k 2 d u = ∫ m d n = m n - ∫ n d m

= 4 - u 2 k 2 u + k ∫ u ⋅ u 4 - u 2 k - 2 2 d u

= 4 - u 2 k 2 u + k ∫ [ - 4 - u 2 + 4 ] 4 - u 2 k - 2 2 d u

= 4 - u 2 k 2 u - k ∫ 4 - u 2 k 2 d u + 4 k ∫ 4 - u 2 k - 2 2 d u

Passando k ∫ 4 - u 2 k 2 d u para o outro lado e dividindo por k + 1 , temos:

∫ 4 - u 2 k 2 d u = 1 k + 1 4 - u 2 k 2 u + 4 k k + 1 ∫ 4 - u 2 k - 2 2 d u

I k = 1 k + 1 4 - u 2 k 2 u + 4 k k + 1 I k - 2

Passo 2

Assim, para k = 5 :

I 5 = 1 6 4 - u 2 5 2 u + 4 ⋅ 5 6 I 3

= 1 6 4 - u 2 5 2 u + 10 3 I 3

Torna-se necessário calcular para k = 3 :

I 3 = 1 4 4 - u 2 3 2 u + 4 ⋅ 3 4 I 1

= 1 4 4 - u 2 3 2 u + 3 I 1

E ainda para k = 1 , para o qual faremos uma substituição:

I 1 = ∫ 4 - u 2 1 2 d u

Passo 3

Substitua u = 2 sin ⁡ x , com x ∈ [ - π ,   π ] , e d u = 2 cos ⁡ x d x , logo:

I 1 = ∫ 4 - 4 sin 2 ⁡ x 1 2 2 cos ⁡ x d x

= ∫ 4 cos 2 ⁡ x 1 2 2 cos ⁡ x d x

= 4 ∫ | cos ⁡ x | cos ⁡ x d x

Como x ∈ - π ,   π , temos cos ⁡ x ≥ 0 , logo:

I 1 = 4 ∫ cos 2 ⁡ x d x

Aplicando o método da integração por partes:

m = cos ⁡ x d n = cos ⁡ x d x ⇒ d m = - sin ⁡ x d x n = sin ⁡ x

Assim,

I 1 = 4 ∫ cos 2 ⁡ x d x = 4 ∫ m d n = 4 m n - 4 ∫ n d m

= 4 sin ⁡ x cos ⁡ x + 4 ∫ sin 2 ⁡ x d x

= 4 sin ⁡ x cos ⁡ x + 4 ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) d x

= 4 sin ⁡ x cos ⁡ x + 4 x - I 1 + C ,   C ∈ R

Passando I 1 para o outro lado e dividindo por 2 , temos:

I 1 = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x + 2 x

Temos de voltar para a variável original u , usando u = 2 sin ⁡ x , como cos ⁡ x > 0 , temos:

cos ⁡ x = 1 2 2 cos ⁡ x

= 1 2 4 - 4 sin 2 ⁡ x

= 1 2 4 - u 2

Logo,

I 1 = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x + 2 x

= u ⋅ 1 2 4 - u 2 + 2 arcsin ⁡ u 2 + C ,   C ∈ R

Passo 4

Retrocedendo os resultados obtemos:

I 5 = 1 6 4 - u 2 5 2 u + 10 3 I 3

= 1 6 4 - u 2 5 2 u + 10 3 1 4 4 - u 2 3 2 u + 3 I 1  

= 1 6 4 - u 2 5 2 u + 5 6 4 - u 2 3 2 u + 10 I 1

= 1 6 4 - u 2 5 2 u + 5 6 4 - u 2 3 2 u + 10 u ⋅ 1 2 4 - u 2 + 2 arcsin ⁡ u 2 + C

= 1 6 u 4 - u 2 5 2 + 5 6 u 4 - u 2 3 2 u + 5 u 4 - u 2 1 2 + 20 arcsin ⁡ u 2 + C ,   C ∈ R

Passo 5

Resposta

∫ 4 - u 2 5 d u = 1 6 u 4 - u 2 5 2 + 5 6 u 4 - u 2 3 2 u + 5 u 4 - u 2 1 2 + 20 arcsin ⁡ u 2 + C ,   C ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x