Nos exercícios de a , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.
1)
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!
“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”
Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.
Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá! ☺
Passo 2
Repare que a integral tem uma fração mas que pode ser separada:
O é difícil de integrar, mas é fácil de derivar. Enquanto isso, é mais fácil de integrar. Isso só pode sugerir um método... Integração por partes.
Repare então que para resolver por esse método necessitamos de saber quem é e , e lembre-se que o é sempre o cara fácil de derivar enquanto o , o cara fácil de integrar.
Passo 3
Já vimos no passo anterior que é fácil de derivar, então ele é o , enquanto que o é o ...
Então agora derivemos para obter o aplicando a regra da cadeia (derivando primeiro o arco-seno e multiplicando pela derivada do argumento ):
Agora em relação ao ... Integremos para obter o ...
Sempre quando terminar essas continhas, monte uma tabelinha, Veja:
Com essa tabelinha em mãos, vem comigo substituir na fórmula de integração por partes ☺!
Passo 4
Pela fórmula é...
Substituindo...
Repare que agora caímos na resolução de uma integral bem mais fácil:
Vamos resolver essa integral separadamente.
Passo 5
Novamente, pergunte o que a integral quer!
Repare que essa integral é semelhante com uma que resolvemos no passo para obter o , o que sugere um resultado parecido. Portanto se fizermos uma substituição simples...
Substituindo...
Já resolvemos essa integral...
Trocando novamente...
Passo 6
Voltando para a integração principal...
Onde é a constante de integração ;)