4. Integração por Partes

b) ∫ 20 x - 19 sen ⁡ x d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 20 x - 19 sen ⁡ x d x

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Usando integração por partes:

u = 20 x - 19 → d u = 20 d x

d v = sen ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ 20 x - 19 sen ⁡ x d x = 20 x - 19 - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x 20   d x

= 19 cos ⁡ x - 20 x cos ⁡ x + 20 ∫ cos ⁡ x d x

= 19 cos ⁡ x - 20 x cos ⁡ x + 20 sen ⁡ x

Como é uma integral indefinida, precisamos adicionar uma constante no final:

= 19 cos ⁡ x - 20 x cos ⁡ x + 20 sen ⁡ x + C

Resposta

19 cos ⁡ x - 20 x cos ⁡ x + 20 sen ⁡ x + C

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x