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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFRJ. Cálculo 2. P1. 2022.1. Questão 1.

Uma partícula se move sobre o gráfico da equação y = l n x , com x > 0 , e tem velocidade horizontal x ' t = t e t , t > 0 . Sabendo que para t = 1 , a partícula passa pelo ponto 1,0 , encontre a posição r t = x t , y t da partícula, e o vetor velocidade no tempo t = 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos a informação que uma partícula se move seguindo o gráfico de y = ln ⁡ x quando x > 0 . A velocidade horizontal dessa partícula é dada pela equação x ' t = t e t para t > 0 .

Foi dito que quando o tempo bater 1 segundo a partícula passa pelo ponto 1,0 e o nosso objetivo é calcular a posição r t dada por r t = x t , y t e a sua velocidade nesse instante t = 1 .

E agora? O que fazemos? 🤔

Primeiro de tudo perceba que a equação x ' t = t e t descreve a velocidade horizontal da partícula.

Lembra lá em física? A derivada de uma função que descreve o movimento resulta em uma função que descreve a velocidade instantânea.

Com base nessa ideia, podemos iniciar nosso problema. 😁

Passo 2

Se integrarmos a função x ' ( t ) vamos obter x ( t ) , correto? Então substituindo t = 1 encontramos x .

∫ t e t d t

Se considerarmos u = t e v = e t podemos aplicar o método de integração por partes já que d u = 1 e d v = e t . Ou seja

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t

∫ t e t d t = t e t - e t + C

Logo, nossa função x t é dada por

x t = t e t - e t + C

Substituindo t = 1 , temos

x 1 = 1 e 1 - e 1 + C

x 1 = e - e + C

x 1 = C

No enunciado, foi dito que neste instante a partícula passa pelo ponto 1,0 ou seja, x 1 = 1 , logo C = 1 .

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Com isso, substituindo x por 1 na equação que descreve o movimento y = ln ⁡ x da partícula, temos

y t = ln ⁡ x t

y t = ln ⁡ x 1

y 1 = ln ⁡ 1

Com isso, nosso resultado é dado por.

y 1 = 0

Logo r t para t = 1 é dado por

r 1 = x 1 , y 1

r 1 = 1,0

O que nos resta é obter o vetor velocidade, correto?

Temos a equação que descreve o movimento em y e temos a própria equação que descreve a velocidade em x .

Derivando a equação y t = ln ⁡ x t , vamos obter a equação que descreve a velocidade vertical.

Por y t ser uma função composta, usamos a regra da cadeia pra deriva-la.

A regra da cadeia é dada como a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, lembra?

y ' t = x ' t · d ln ⁡ x t d x t

y ' t = x ' t · 1 x t

Substituindo as informações, temos

y ' t =   t e t · 1 t e t - e t + 1

Substituindo t = 1 , temos

y ' 1 = 1 e 1 · 1 1 e 1 - e 1 + 1

y ' 1 = e

Encontramos a velocidade vertical, a velocidade horizontal é dada por

x ' t =   t e t

Para t = 1

x ' 1 =   1 e 1

x ' 1 =   e

Logo o vetor velocidade é dado por

v 1 = e , e

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

r 1 = 1,0

v 1 = e , e

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