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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Q01a) Calcule as integrais abaixo:

∫ x 2 + 1 ln ⁡ 2 x d x

Passo 1

Quando vemos um produto de funções diferentes bate aquela vontade de integrar por partes né? Só toma cuidado com uma pequena coisinha: se eu chamar:

u = x 2 + 1

ln ⁡ 2 x d x = d v

Eu vou até facilitar a minha vida ao derivar u né? Mas e ao integrar a segunda inha? Acaba me enrolando. Então, vou fazer o seguinte, vou trocar a ordem:

u = ln ⁡ 2 x

x 2 + 1 d x = d v

Derivando a primeira linha e integrando a segunda temos:

d u = 1 x   d x

v = x 3 3 + x

E sendo a regra de integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos ficar com:

∫ x 2 + 1 ln ⁡ 2 x d x = x 3 3 + x ln ⁡ 2 x -   ∫ x 3 3 + x 1 x   d x

∫ x 2 + 1 ln ⁡ 2 x d x = x 3 3 + x ln ⁡ 2 x -   ∫ x 2 3 + 1   d x

E olha lá! A integral que sobrou é bem direta ao ponto né? Vamos ter:

∫ x 2 + 1 ln ⁡ 2 x d x = x 3 3 + x ln ⁡ 2 x -   x 3 9 - x + C

Resposta

∫ x 2 + 1 ln ⁡ 2 x d x = x 3 3 + x ln ⁡ 2 x -   x 3 9 - x + C

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