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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Substituição Trigonométrica, Integração por Partes

Resolva a integral

∫ arcsen ⁡ x d x

Passo 1

Temos aquela raiz quadrada meio louca ali, atrapalhando a vera a nossa vida. Vamos fazer uma substituição para tentar tirá-la de lá.

y = x

Derivando

d y = 1 2 x d x

Lembrando que devemos achar d x vamos fazer x = y

d y = 1 2 y d x

d x = 2 y d y

Passo 2

Substituindo u e d x na integral vamos ter

∫ arcsen ⁡ x d x = ∫ 2 y arcsen ⁡ y d y

Opa agora temos uma situação onde vamos usar a integração por partes. Isso porque temos um produto onde queremos sumir com aquele arco seno.

u = arcsen ⁡ x

d v = 2 y d y

Derivando u

d u = 1 1 - y 2 d y

Integrando d v

v = 2 y 2 2 = y 2

E lembrando que, na integração por partes,

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então vamos ter

∫ 2 y e y d y = y 2 arcsen ⁡ y - ∫ y 2 . 1 1 - y 2 d y = y 2 arcsen ⁡ y - ∫ y 2 1 - y 2 d y

Passo 3

Temos que achar a integral

∫ y 2 1 - y 2 d y

Temos uma subtração de quadrados, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Lembra qual o caso? Como temos a 2 - y 2 , primeiro repara que a = 1 , depois fazemos a substituição

y = 1 . sen ⁡ θ

Agora precisamos achar a derivada disso

d y = cos ⁡ θ d θ

Passo 4

Substituindo na equação

∫ y 2 1 - y 2 d y = ∫ sen ⁡ θ 2 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Arrumando essa integral

∫ sen ⁡ θ 2 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

∫ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

A integral vai ficar

∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = θ 2 - sen ⁡ 2 θ 4 + C

Temos que voltar para y

Passo 5

Antes de fazermos o triângulo vamos escrever sem ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

θ 2 - sen ⁡ 2 θ 2 + C = θ 2 - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + C = θ 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + C

Bom, fizemos que y = 1 . sen ⁡ θ → sen ⁡ θ = y 1 .

Sabemos que seno = cateto oposto hipotenusa = y 1 .

Assim, hipotenusa = 1 , cateto  oposto=y e cateto  adjacente = 1 - y 2

O cosseno vai ser

cos ⁡ θ = cateto  adjacente hipotenusa = 1 - y 2 1 = 1 - y 2

Além disso como sen ⁡ θ = y teremos θ = arcsen ⁡ y

Então a função vai ficar

arcsen ⁡ y 2 - y 1 - y 2 2 + C

Passo 6

Voltando para integral por partes vamos ter

∫ 2 y e y d y = y 2 arcsen ⁡ y - ∫ y 2 1 - y 2 d y = y 2 arcsen ⁡ y - arcsen ⁡ y 2 - y 1 - y 2 2 + C

⇒ y 2 arcsen ⁡ y - arcsen ⁡ y 2 + y 1 - y 2 2 + C

Passo 7

Temos que voltar para o x , lembra a relação entre x e y ?

x = y

Desubstituindo vamos ter

y 2 arcsen ⁡ y - arcsen ⁡ y 2 + y 1 - y 2 2 + C = x 2 arcsen ⁡ x - arcsen ⁡ x 2 + x 1 - x 2 2 + C

⇒ x arcsen ⁡ x - arcsen ⁡ x 2 + x 1 - x 2 + C

Resposta

x arcsen ⁡ x - arcsen ⁡ x 2 + x 1 - x 2 + C

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