UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.3e
Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:
Passo 1
E aí galera, como vocês estão?
Nessa questão recebemos a integral:
E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?
Então, basicamente ele vai dizer que:
Onde e são duas funções de (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a (mas aí o método não teria muita serventia).
A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função e qual parte é . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!
Para escolher o basta seguir a ordem de prioridade abaixo:
Logarítimica
Inversa Trigonométrica
Algébrica
Trigonométrica
Exponencial
Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!
Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉
Passo 2
Bom, temos a integral:
Ou seja, essa integral é dada pelo produto de:
Pelo nosso método LIATE, as funções trigonométricas são prioritárias em relação às exponenciais. Por isso, teremos:
Daí, como:
Vamos começar calculando quem é :
Já a derivada de , vale:
Daí, substituindo na expressão da integração por partes, temos:
Show de bola!
Passo 3
O problema é que para calcular a integral:
Precisamos usar novamente a integração por partes. Em geral isso sempre ocorre quando temos uma função trigonométrica envolvida.
Então vamos lá:
Daí:
Substituindo na nossa expressão, vamos ter:
Olha que interessante, o resultado dessa integral ficou em função da integral do enunciado. Por isso, vamos substituir esse resultado na expressão que havíamos encontrado anteriormente.
Mas:
Daí:
Isolando a nossa integral do enunciado em um dos lados da equação, temos:
Portanto:
E é isso galeraaa!! Pegaram a ideia? Espero que vocês tenham curtido!
Até a próxima 😊