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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.3g

Resolva as seguintes integrais pelo método da integração por partes:

g )   ∫ a r c s e n x 2 d x

Passo 1

Faaaala povo bonito do Responde Aí, como vocês est��o?

Nessa questão recebemos a integral:

∫ a r c s e n x 2 d x

E, precisamos resolvê-la utilizando a integração por partes. Vocês lembram de como usar esse método pra resolver integrais?

Então, basicamente ele vai dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são duas funções de x (inclusive, uma delas pode ser a própria função constante igual a 1 (mas aí o método não teria muita serventia).

A maior dificuldade pra utilizar a integração por partes é identificar qual parte do integrando é a função u e qual parte é v . Por isso, vou te passar um bizu muito bom!

Para escolher o u ( x ) basta seguir a ordem de prioridade abaixo:

1 ) Logarítimica ( ln ⁡ x )

2 ) Inversa Trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   … )

3 ) Algébrica ( x n )

4 ) Trigonométrica ( s e n   θ , cos ⁡ θ , … )

5 ) Exponencial ( e x )

Juntas, as iniciais formam a palavra LIATE! Vamo memorizar isso aí hein!

Prontinho! Agora que demos uma revisada no método, vamos meter bronca na integral! 😉

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ a r c s e n x 2 d x

Aparentemente não temos um produto de funções no integrando, então vamos precisar fazer aparecer esse produto. Podemos pensar em função do termo dentro do arcoseno, ou seja x / 2 , e tentar fazer a sua derivada aparecer nessa integral.

Por exemplo:

∫ a r c s e n x 2 d x = 2 ⋅ ∫ 1 2 ⋅ a r c s e n x 2 d x

Daí, podemos dizer que:

u x = a r c s e n x 2 d v = 1 2

Assim:

v x =   ∫ 1 2 d x

= x 2

E:

d u d x = 1 1 - x 2

Daí, voltando à expressão da integração por partes, temos:

∫ a r c s e n x 2 d x = x 2 ⋅ a r c s e n x 2 - ∫ x 2 ⋅ 1 1 - x 2 d x

= x 2 ⋅ a r c s e n x 2 - 1 2 ⋅ ∫ x 1 - x 2 d x  

Muito bom! Nosso trabalho agora consiste em resolver essa integral!

Passo 3

Para resolver a integral:

∫ x 1 - x 2 d x

Podemos usar o método da substituição. Para isso, vamos chamar:

y = 1 - x 2

d y = - 2 x d x

∴ x d x = - d y 2

Substituindo na integral, vem:

∫ x 1 - x 2 d x = ∫ - d y 2 y

=   - 1 2 ⋅ ∫ y - 1 2 d y

Essa é uma integral de um monômio, logo temos:

- 1 2 ⋅ ∫ y - 1 2 d y = - 1 2 ⋅ y 1 2 1 2

=   - y 1 2

Daí, voltando à variável x , temos:

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2 1 2

Voltando à nossa expressão da integração por partes, temos:

∫ a r c s e n x 2 d x = x 2 ⋅ a r c s e n x 2 - 1 2 ⋅ ∫ x 1 - x 2 d x

Logo:

∫ a r c s e n x 2 d x = x 2 ⋅ a r c s e n x 2 + 1 2 ⋅ 1 - x 2 1 2 + C

(Não podemos esquecer de somar a constante de integração hein pessoal haha).

Mas é isso gente, mais uma questão finalizada!

Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉

Resposta

x 2 ⋅ a r c s e n x 2 + 1 2 ⋅ 1 - x 2 1 2 + C

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