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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P4 – Exercício 6

Sabendo que

∫ 0 1 / b 15 arctan ⁡ b x   d x = 16

Podemos concluir que b é igual a

a) 15 32 π 2 - ln ⁡ 2

b) 32 15 π 2 + ln ⁡ 2

c) 15 16 π 4 - ln ⁡ 2

d) 15 32 π 2 + ln ⁡ 2

e) 16 15 π 4 - ln ⁡ 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O primeiro passo para resolver esse problema é fazer a substituição

t = b x → d x = d t b

Observe que quando x = 0 , temos t = 0 . Já quando x = 1 / b , achamos t = 1 . Essas relações são importantes para definir os novos limites de integração:

∫ 0 1 / b 15 arctan ⁡ b x   d x = ∫ 0 1 15 arctan ⁡ t d t b = 16

Logo,

b = 15 16 ∫ 0 1 arctan ⁡ t   d t

Agora é só fazer essa integral que resolvemos o problema...

Passo 2

Acontece que a integral do arco tangente não é uma integral tão trivial de ser feita. Bora que eu vou te explicar como faz!

Primeiro você deve lembrar de integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos escrever

u = arctan ⁡ t         e         d v = d t

Assim,

u = arctan ⁡ t ' d t = d t 1 + t 2             e           v = t

Logo,

∫ 0 1 arctan ⁡ t   d t = t arctan ⁡ t 0 1 - ∫ 0 1 t 1 + t 2   d t

Fazendo as substituições dos limites no primeiro termo, achamos

∫ 0 1 arctan ⁡ t   d t = arctan ⁡ 1 - ∫ 0 1 t 1 + t 2   d t = π 4 - ∫ 0 1 t 1 + t 2   d t

Passo 3

Agora temos que olhar para uma nova integral:

∫ 0 1 t 1 + t 2   d t

Essa integral sai por substituição simples:

u = 1 + t 2 → d u = 2 t   d t → t   d t = d u 2

Assim,

∫ 0 1 t 1 + t 2   d t = 1 2 ∫ 1 2 1 u   d u = 1 2 ln ⁡ u 1 2 = 1 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = 1 2 ln ⁡ 2

Logo,

∫ 0 1 arctan ⁡ t   d t = π 4 - 1 2 ln ⁡ 2 = 1 2 π 2 - ln ⁡ 2

Com isso, voltando para o resultado do passo 1:

b = 15 16 ∫ 0 1 arctan ⁡ t   d t = 15 16 ⋅ 1 2 π 2 - ln ⁡ 2

Ou ainda,

b = 15 32 π 2 - ln ⁡ 2

A resposta está na alternativa A 😉.

Resposta

Alternativa A.

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Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x