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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Seja a > 0 . Calcule

(a.2) ∫ x ln ⁡ a x d x

Passo 1

Escolher o método de integração

Integral de algo com ln ⁡ x sempre assusta né? Mas relaxa que vou te passar o bizu: sempre que vier algo assim, tenta integração por partes! Isso porque quando fazemos esse método, acabamos por sumir com o l n de dentro da integral. Vamos então escolher

d v = x d x → v = x 2 2

u = ln ⁡ a x → d u = x a - a x 2 d x

∫ x ln ⁡ a x d x = ∫ u d v = u v -   ∫ v d u

Passo 2

Resolver a integral

Agora é trabalho braçal mesmo. Vamo que Vamo:

∫ x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x -   ∫ x 2 2 x a - a x 2 d x

∫ x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x +   1 2 ∫ x d x

∫ x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x + x 2 4 + C

Resposta

∫ x ln ⁡ a x d x = x 2 2 ln ⁡ a x + x 2 4 + C

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