Seja f uma função contínua que não se anula para x ∈ ( 0 , π / 2 ] tal que é satisfeito:

1 2 f 2 x = ∫ 0 x 2 f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + 1 - sin 2 ⁡ u d u - ∫ x x 2 f u sin ⁡ u 1 + cos ⁡ u + 1 - cos 2 ⁡ u d u

  1. Calcule f ( x ) para esse intervalo, se for necessário usar uma integral, aplique primeiro uma substituição e depois uma integral por frações parciais, outros métodos serão desconsiderados.
  2. Calcule f ( π / 2 ) .

Passo 1

Faleis, vós, magnífiques.Essa letra ( b ) é mais pra garantir de que qual seja a forma que botasse a função na letra ( a ) , o resultado final sai igual. Só substituir na fórmula que achamos:

f ( x ) = - ln ⁡ sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + x 2

⇒ f π 2 = - ln ⁡ sin ⁡ π 4 + cos ⁡ π 4 + π 4

= - ln ⁡ 2 + π 4

Resposta

f π 2 = - ln ⁡ 2 + π 4

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x