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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.2, Questão 5

Seja f função diferenciável tal que f ( 7 ) = 24 e 7 / 6 e f ' ( 1 ) = 6 e 1 / 6

∫ 0 7 f ( x ) e - x / 6 d x = 180

O valor da integral e - 1 / 6 ∫ 0 2 x f ' ( 1 + 3 x 2 ) e - x 2 / 2 d x é:

  1. 10
  2. 8
  3. 7
  4. 9
  5. 11

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do método de integração por partes!!! Lembram dele?

Ele diz que se

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b d u v

Lembraram? Boa!

Então bora pra questão!!!! Queremos valor de da integral e - 1 / 6 ∫ 0 2 x f ' ( 1 + 3 x 2 ) e - x 2 / 2 d x , mas sabemos que

f ( 7 ) = 24 e 7 / 6 e f ' ( 1 ) = 6 e 1 / 6

∫ 0 7 f ( x ) e - x / 6 d x = 180

E aí? Como podemos prosseguir? Vamos arrumar a integral e - 1 / 6 ∫ 0 2 x f ' ( 1 + 3 x 2 ) e - x 2 / 2 d x . Para isso, vamos fazer uma substituição de variáveis. Fazendo

1 + 3 x 2 = u

derivando dos dois lados

⇒ 6 x d x   =   d u

⇒ x d x   =   d u 6

Além disso, temos que

1 + 3 x 2 = u

⇒ x 2 = u - 1 3

E por fim temos uma mudança no nosso limite de integração. Como

1 + 3 x 2 = u

se x = 0 ⇒ u = 1

se x = 2 ⇒ u = 7

Então podemos concluir que

e - 1 / 6 ∫ 0 2 x f ' ( 1 + 3 x 2 ) e - x 2 / 2 d x = e - 1 / 6 ∫ 1 7 f ' ( u ) e - ( x - 1 ) / 6 d u 6

simplificando

= ∫ 1 7 f ' ( u ) e - x / 6 d u 6

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que

e - 1 / 6 ∫ 0 2 x f ' ( 1 + 3 x 2 ) e - x 2 / 2 d x = ∫ 1 7 f ' ( u ) e - x / 6 d u 6

E agora? O que fazemos? Usamos integração por partes!!!! Lembrando que a fórmula é

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b d u v

Então, fazendo

f ' ( x ) = d v

e - u / 6 = u

A nossa integral fica:

∫ 1 7 f ' ( u ) e - x / 6 d u 6 = f ( u ) e - x / 6 / 6 | 1 7 + 1 36 ∫ 1 7 e - u / 6 f ( u ) d u  

Parece que piorou, mas, felizmente, o enunciado diz que

f ( 7 ) = 24 e 7 / 6 e f ( 1 ) = 6 e 1 / 6

∫ 0 7 f ( x ) e - x / 6 d x = 180

Logo

f ( u ) e - x / 6 / 6 | 1 7 + 1 36 ∫ 1 7 e - u / 6 f ( u ) d u = f ( 7 ) e - 7 / 6 6 - f ( 1 ) e - 1 / 6 6 + 180 36

= 24 6 - 6 6 + 180 36

simplificando

= 4 - 1 + 5

= 8

Ou seja, chegamos a conclusão que

e - 1 / 6 ∫ 0 2 x f ' ( 1 + 3 x 2 ) e - x 2 / 2 d x = 8

Valor encontrado na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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