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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.2, Questão 4

Seja f função duas vezes diferenciável tal que f ( 0 ) = 27 e f ' ( π / 2 ) = 405

∫ 0 π / 2 f ' ' ( x ) s i n ( 9 x ) d x = 729

O valor da integral ∫ 0 π / 2 f ( x ) s i n ( 9 x ) d x é:

  1. - 1
  2. - 2
  3. 1
  4. 2
  5. 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do método de integração por partes!!! Lembram dele?

Ele diz que se

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b d u v

Lembraram? Boa!

Então bora pra questão!!!! Queremos valor de da integral ∫ 0 π / 2 f ( x ) s i n ( 9 x ) d x , mas sabemos que

f ( 0 ) = 27 e f ' ( π / 2 ) = 405

∫ 0 π / 2 f ' ' ( x ) s i n ( 9 x ) d x = 729

E aí? Como podemos prosseguir? Vamos Usar integração por partes em ∫ 0 π / 2 f ( x ) s i n ( 9 x ) d x . Fazendo

f ( x ) = u

e

s i n ( 9 x ) = d v

Então temos:

∫ 0 π / 2 f ( x ) s i n ( 9 x ) d x =   - f ( x ) c o s ( 9 x ) 9 | π / 2 0   + ∫ 0 π / 2 f ' ( x ) c o s ( 9 x ) 9  

Mas e agora o que fazemos? Aplicamos integrais por partes novamente!!!!

Então fazendo

f ' ( x ) = u

e

c o s ( 9 x ) = d v

Temos:

  - f ( x ) c o s ( 9 x ) 9 | π / 2 0   + ∫ 0 π / 2 f ' ( x ) c o s ( 9 x ) 9 =   - f ( x ) c o s ( 9 x ) 9 | π / 2 0   + f ' ( x ) s i n ( 9 x ) 81 | π / 2 0 - ∫ 0 π / 2 f ' ' ( x ) s i n ( 9 x ) 81

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que

∫ 0 π / 2 f ( x ) s i n ( 9 x ) d x = - f ( x ) c o s ( 9 x ) 9 | π / 2 0   + f ' ( x ) s i n ( 9 x ) 81 | π / 2 0 - ∫ 0 π / 2 f ' ' ( x ) s i n ( 9 x ) 81

Mas sabemos do enunciado que

f ( 0 ) = 27 e f ' ( π / 2 ) = 405

∫ 0 π / 2 f ' ' ( x ) s i n ( 9 x ) d x = 729

Então podemos terminar de calcular essa integral!!!! Temos:

∫ 0 π / 2 f ( x ) s i n ( 9 x ) d x = f ( 0 ) c o s ( 0 ) 9 + f ' ( π / 2 ) c o s ( 9 * π / 2 ) 81   + f ' ( π / 2 ) s i n ( 9 * π / 2 ) 81 - 729 81

= 27 9 + 405 81 - 9

= 3 + 5 - 9

= - 1

Valor encontrado na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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