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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFPE – Cálculo 1 – 2020.2 – Terceiro Exame – Exercício 4

Seja n um número natural, com n ≥ 2 . Mostre que

∫ s e n n x   d x = - 1 n   s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x   d x

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema você precisa lembrar um pouco de integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para isso, escrevemos

I = ∫ s e n n x   d x = ∫ s e n n - 1 x ⋅ s e n   x   d x

Daí, vamos chamar u = s e n n - 1 x e d v = s e n   x   d x . Logo, achamos

d u = s e n n - 1 x ' d x = n - 1 s e n n - 2 x ⋅ s e n   x '   d x

Ou ainda,

d u = n - 1   s e n n - 2 x cos ⁡ x   d x

O v é bem mais fácil de achar:

v = ∫ d v = ∫ s e n   x   d x = - cos ⁡ x

Com isso, usando a fórmula da integral por partes, temos

I = ∫ s e n n x   d x = u v - ∫ v   d u = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ cos ⁡ x   s e n n - 2 x cos ⁡ x   d x

Logo,

I = ∫ s e n n x   d x = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Agora vem o pulo do gato: usamos a relação fundamental trigonométrica:

s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x = s e n n - 2 x   1 - s e n 2 x = s e n n - 2 x - s e n n x

Portanto,

∫ s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x   d x = ∫ s e n n - 2 x   d x - ∫ s e n n x   d x

Observe que a segunda integral é exatamente a integral que procuramos, que estou chamando de I :

∫ s e n n - 2 x cos 2 ⁡ x   d x = ∫ s e n n - 2 x   d x - I

Desta forma, a relação achada no passo 1 pode ser escrita como

I = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ⋅ ∫ s e n n - 2 x   d x - I

Portanto,

I = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x   d x - n - 1 ⋅ I

Passando todos os termos com I para o mesmo lado:

I + n - 1 ⋅ I = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x   d x

Como I + n - 1 ⋅ I = n I , temos que

n I = - s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 ∫ s e n n - 2 x   d x

Agora é só passar o n dividindo que terminamos o problema:

I = - 1 n   s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x   d x

Ou ainda, para ficar mais bonitinho:

∫ s e n n x   d x = - 1 n   s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x   d x

Não foi tão difícil quanto parecia, não é mesmo? 😉.

Resposta

Demonstração.

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