UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 12b
Usando integração por parte determine as seguintes fórmulas de recorrência
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom, antes de tudo, a gente precisa entender como que usa a integração por partes.
De vez em quando, a gente vai esbarrar com algumas integrais que não vão ser tão simples de resolver, e ai a integração por partes nos ajuda bastante. Existe uma formula que vai nos ajudar:
E no caso, vamos ter que:
Certo? Show de bola. E agora vamos ver como essa regrinha se aplica ao nosso exercício
Passo 2
Show galera, vamos lá. Teremos:
Nesse caso, nós temos que decidir quem vai ser o e quem vai ser o . Mas se a gente olhar muito bem ali, nós só temos 1 função, certo? Então vamos tornar isso um pouco melhor:
Ok, agora que nós temos 2 funções multiplicando, vamos poder usar a Integração por partes:
Show, agora, usando a nossa fórmula do Passo 1, vamos ter:
Vamos melhorar, para isso importante lembrar da seguinte identidade trigonométrica:
Vamos substituir:
Aqui, vamos separar essas duas últimas integrais:
Opa opa, repararam o que achamos aqui no final? Achamos a MESMA integral que começamos lá no inicio do Passo 2. O que isso significa? Que erramos? Talvez (brincadeira kk). Mas se trata de uma integral circular. Vamos passar essa parte da integral para a esquerda com sinal contrário:
Simplificando na esquerda:
Dividindo tudo por :