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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 14- Questão 1g

Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.

g )   ∫ e 2 x s e n ( x ) d x

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão?? O nosso problema quer que calculemos a integral ∫ e 2 x s e n ( x ) d x utilizando o método de integração por partes. A integração por partes é equivalente a regra do produto para a diferenciação. Basicamente na nossa equação sempre vai ter uma função que vai ser mais fácil derivar enquanto que na outra função vai ser mais fácil integrar, sendo assim teremos que saber identificar cada uma dessas funções para conseguir utilizar a regra da integração por partes que diz:

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

Passo 2

Então o primeiro passo é identificar quem vai ser o meu u , ou seja, a função mais fácil de derivar e quem será meu v que será a função mais fácil de se integrar. Sabendo dessas informações o nosso problema fica mais simples. Bora lá!

∫ e 2 x s e n ( x ) d x

Escolheremos o u de acordo com a ordem do nosso macete : LIATE

Logarítmica ( l n   x )

Inversa trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   . . . )

Algébrica ou polinomial ( x ² )

Trigonométrica( s e n   x ,   c o s   x , …)

Exponencial ( e x )

Sendo assim, observa-se que a função mais fácil de se derivar é s e n ( x ) .

E a de se integrar é e 2 x d x

Agora que encontramos cada uma basta utilizar a fórmula dada no passo anterior.

Passo 3

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

Dessa forma podemos afirmar que

∫ e 2 x s e n ( x ) d x   = s e n ( x ) ⋅ 1 2 e 2 x   -   ∫ 1 2 e 2 x c o s ( x ) d x

= s e n ( x ) ⋅ 1 2 e 2 x   -   1 2 ∫ e 2 x c o s ( x ) d x

Percebam que teremos que fazer novamente uma integração por partes em ∫ e 2 x c o s ( x ) d x .

Passo 4

Bom, nossa missão agora é utilizar novamente a regra de integração por partes para encontrar o valor de ∫ e 2 x c o s ( x ) d x , após descobrir esse valor poderemos dar continuidade no cálculo do passo anterior. Olhando novamente nossa tabelinha do LIATE, temos que o nosso u agora será c o s ( x ) , ou seja, essa função é mais fácil de se derivar.

Sendo assim, a função mais fácil de se integrar será e 2 x d x

Portanto,

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

∫ e 2 x c o s ( x ) d x   =   c o s ( x ) ⋅ 1 2 e 2 x   +   ∫ 1 2 e 2 x s e n ( x ) d x

Substituindo o valor encontrado na expressão do passo 3, temos

∫ e 2 x s e n ( x ) d x   = s e n ( x ) ⋅ 1 2 e 2 x   -   1 2 ∫ e 2 x c o s ( x ) d x

∫ e 2 x s e n ( x ) d x   = s e n ( x ) ⋅ 1 2 e 2 x   -   1 2 (   c o s ( x ) ⋅ 1 2 e 2 x   +   1 2 ∫ e 2 x s e n ( x ) d x )

∫ e 2 x s e n ( x ) d x   = s e n ( x ) e 2 x 2   - c o s ( x ) e 2 x 4 -   1 4 ∫ e 2 x s e n ( x ) d x

∫ e 2 x s e n ( x ) d x   +   1 4 ∫ e 2 x s e n ( x ) d x   = s e n ( x ) e 2 x 2 - c o s ( x ) e 2 x 4  

5 4 ∫ e 2 x s e n ( x ) d x = s e n ( x ) e 2 x 2 - c o s ( x ) e 2 x 4

∫ e 2 x s e n ( x ) d x = 2 s e n ( x ) e 2 x 5 - c o s ( x ) e 2 x 5

Alerta! Não podemos esquecer de adicionar a constante de integração!

∫ e 2 x s e n ( x ) d x = 2 s e n ( x ) e 2 x 5 - c o s ( x ) e 2 x 5   + K , onde K   ∈   ℝ .

Não fiquem assustados, basta ter calma e praticar bastante.

Beijinhos!!! :)

Resposta

∫ e 2 x s e n ( x ) d x = 2 s e n ( x ) e 2 x 5 - c o s ( x ) e 2 x 5   + K , onde K   ∈   ℝ .

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