Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Ver Teoria
Exercício 169123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 14- Questão 1h

Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.

h )   ∫ x ² c o s ( x ) d x

Passo 1

Falaaa, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa questão parece complicadinha, mas aqui a gente transforma ela em algo mais tranquilo hahaha bora, juntos??

O nosso problema quer que calculemos a integral ∫ x ² c o s ( x ) d x utilizando o método de integração por partes. A integração por partes é equivalente a regra do produto para a diferenciação. Basicamente na nossa equação sempre vai ter uma função que vai ser mais fácil derivar enquanto que na outra função vai ser mais fácil integrar, sendo assim teremos que saber identificar cada uma dessas funções para conseguir utilizar a regra da integração por partes que diz:

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

Passo 2

Então o primeiro passo é identificar quem vai ser o meu u , ou seja, a função mais fácil de derivar e quem será meu v que será a função mais fácil de se integrar. Sabendo dessas informações o nosso problema fica mais simples. Bora lá!

∫ x ² c o s ( x ) d x

Escolheremos o u de acordo com a ordem do nosso macete : LIATE

Logarítmica ( l n   x )

Inversa trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   . . . )

Algébrica ou polinomial ( x ² )

Trigonométrica( s e n   x ,   c o s   x , …)

Exponencial ( e x )

Sendo assim, observa-se que a função mais fácil de se derivar é x ² .

E a de se integrar é c o s ( x ) d x

Agora que encontramos cada uma basta utilizar a fórmula dada no passo anterior.

Passo 3

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

Dessa forma podemos afirmar que

∫ x ² c o s ( x ) d x =   x ² s e n ( x )   - ∫ s e n ( x ) 2 x d x  

=   x ² s e n ( x )   - 2 ∫ x s e n ( x ) d x  

Percebam que teremos que fazer novamente uma integração por partes em ∫ x s e n ( x ) d x .

Passo 4

Bom, nossa missão agora é utilizar novamente a regra de integração por partes para encontrar o valor de ∫ x s e n ( x ) d x , após descobrir esse valor poderemos dar continuidade no cálculo do passo anterior. Olhando novamente nossa tabelinha do LIATE, temos que o nosso u agora será x , ou seja, essa função é mais fácil de se derivar.

Sendo assim, a função mais fácil de se integrar será s e n ( x )

Portanto,

∫ u d v   =   u ⋅ v   -   ∫ v d u

∫ x s e n ( x ) d x =   - x c o s ( x )   + ∫ c o s ( x ) d x

  - x c o s ( x )   + s e n ( x )

Passo 5

Agora podemos retornar nossos cálculos para a expressão feita no passo 3.

∫ x ² c o s ( x ) d x =   x ² s e n ( x )   - ∫ s e n ( x ) 2 x d x  

=   x ² s e n ( x )   - 2 ∫ x s e n ( x ) d x  

=   x ² s e n ( x )   - 2 (   - x c o s ( x )   + s e n ( x ) )  

=   x ² s e n ( x )   + 2 x c o s ( x )   - 2 s e n ( x )  

E aí, finalizamos??? Ainda não, temos que lembrar que estamos encontrando o valor de uma integral, ou seja, temos que adicionar o valor da nossa constante de integração. Assim,

∫ x ² c o s ( x ) d x   =   x ² s e n ( x )   + 2 x c o s ( x )   - 2 s e n ( x )   +   K   , com K   ∈   ℝ .

Eita! Essa foi meio complicadinha mesmo né? É sempre bom praticar um pouquinho mais para se habituar a esse tipo de questão.

Bons Estudos, xuxus!!!

Resposta

∫ x ² c o s ( x ) d x   =   x ² s e n ( x )   + 2 x c o s ( x )   - 2 s e n ( x )   +   K   , com K   ∈   ℝ .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x