Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo.

Passo 1

Olá a todos, bem vindo a mais uma resolução de cálculo. Pegue seu lápis e seu papel que iremos começar.

A nossa integral tem a seguinte forma,

∫ x sec 2 ⁡ x d x

Utilizando a decomposição,

u = x

d u = d x

d v = sec 2 ⁡ x   d x

v = tan ⁡ x

Passo 2

Obtemos por partes a seguinte integral,

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

= x tan ⁡ x - ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Mesmo que seja facilmente encontrada em tabelas de integração, é importante aprender uma forma de se obter a integral de tan ⁡ x .

Passo 3

Para isso iremos fazer,

w = cos ⁡ x

d w =   - sin ⁡ x d x

E assim, temos

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x + ∫ 1 w d w x tan ⁡ x + ln ⁡ w + C = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

E assim terminamos nossa resolução, se atente ao fato de que nem sempre apenas uma técnica de resolução de integral será suficiente. Forte abraço e até a próxima.

Resposta

x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C

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