Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo.

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 1

Olá pessoal, como todos vocês estão? Espero que com um café na mão para que possamos dar início a mais uma resolução de cálculo.

Vamos comigo resolver a seguinte integração,

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

Antes de chamarmos um exorcista para resolver essa questão aqui, que tal se chamarmos de u = sin ⁡ ( ln ⁡ x ) e d v = d x , teremos então d u = cos ⁡ ln ⁡ x x d x e v = x

Obtemos então,

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x = x sin ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

Passo 2

Como castigo para estudante é pouco, vamos ter que integrar novamente por partes para resolver ∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x , fazendo

u = cos ⁡ ( ln ⁡ x )

d u = - sin ⁡ ( ln ⁡ x ) x

d v = d x

v = x

Chegamos a,

∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = x cos ⁡ ln ⁡ x + ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

Note que a integral que começamos a resolver inicialmente reapareceu, então iremos utilizar isso ao nosso favor

Passo 3

Encontramos que

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x =   x sin ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

Portanto, o que termos é que

2 ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x =   x sin ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x = 1 2   x sin ⁡ ln ⁡ x - 1 2 x cos ⁡ ln ⁡ x + C

E assim terminamos mais uma resolução, espero que tenha aprendido mais um pouco aqui com a gente e um forte abraço.

Resposta

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x = 1 2   x sin ⁡ ln ⁡ x - 1 2 x cos ⁡ ln ⁡ x + C

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