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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFF, Niterói - Campus da Praia Vermelha, Cálculo IA, Listas de C1 - UFF (GMA) - Lista 14 - Integração por substituição e por partes, Questão 3.6

Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo.

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Olá meus consagrados, espero que esteja bem e dispostos para que possamos terminar essa lista, chegamos finalmente a nossa última questão.

A nossa integração é a seguinte,

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

E iremos resolvê-la por integração por partes.

Passo 2

Primeiro de tudo vamos facilitar um pouco nossas vidas utilizando uma identidade trigonométrica,

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Então agora o que temos é,

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) sec 3 ⁡ x d x

= ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Para que possamos resolver ∫ sec 5 ⁡ x d x vamos utilizar a integração por parte.

Decompondo da melhor forma possível, temos

u = sec 3 ⁡ x

d u = 3 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x d x

d v = sec 2 ⁡ x d x

v = tan ⁡ x

Temos agora que,

∫ sec 5 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ sec 3 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

Substituindo na nossa integração principal,

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 3 ∫ sec 3 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x  

4 ∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 4 ( sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x )

Passo 3

Para encontramos a integral ∫ sec 3 ⁡ x d x nós teremos que utilizar de mais uma integração por partes,

Onde u = sec ⁡ x e d v = sec 2 ⁡ x d x . Então temos que d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x e v = tan ⁡ x .

∫ sec 3 ⁡ x   d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x   d x

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 2 ⁡ x   d x

=     s e c ⁡ ( x )     t a n ⁡ ( x )   -     l n ⁡ |   s e c ⁡ ( x )   +     t a n ⁡ ( x ) |   +   C

Agora finalmente podemos escrever a nossa integração principal como,

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 1 8 ( s e c ⁡ ( x )     t a n ⁡ ( x )   -     l n ⁡ |   s e c ⁡ ( x )   +     t a n ⁡ ( x ) |   ) +   C

Resposta

∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 4 sec 3 ⁡ x tan ⁡ x - 1 8 ( s e c ⁡ ( x )     t a n ⁡ ( x )   -     l n ⁡ |   s e c ⁡ ( x )   +     t a n ⁡ ( x ) |   ) +   C

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