UFSCAR – Cálculo 1 – Simulado 1
- Considere a função
- Determine o domínio de e a sua expressão.
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Aqui nesse problema ele nos dá uma função
Que possui domínio e imagem dados por:
E a questão nos pede para calcular a função inversa . Vamos lembrar aqui rapidinho quem é esse cara doido aí... Quando temos uma função a gente pode escrever como sendo uma função :
E nesse caso a gente tem o sendo função de , certo? A inversa vai ser a gente conseguir escrever o como sendo uma função de . Geralmente a gente só substitui por e manipula mas nesse problema a gente vai ter que ter uns cuidados a mais que eu já vou falar, beleza?Ahh e não esquece que o domínio e a imagem são importantes para a gente definir melhor o . Como a gente tem uma relação de inversão, temos que esses conjuntos se invertem também, então temos:
Então vamos lá resolver essa 😊
Passo 2
Bom, vamos escrever a nossa função como
Como eu quero isolar em função de , vamos manipular essa expressão elevando ao quadrado os dois lados:
Aqui que geralmente a gente troca por e resolve, mas como temos uma função do segundo grau a gente precisa manipular um pouco mais. Olha o que acontece se eu adicionar nos dois lados da igualdade (isso não altera em nada as nossas funções, beleza):
Se resolvermos aquela soma da direita temos:
E aí é que tá o porquê de eu adicionar !! Na direita a gente tem um trinômio do quadrado perfeito:
E aí a nossa expressão fica melhor, né?
Agora que a gente sumiu com aquela função do segundo grau podemos trocar por :
Tirando a raiz dos dois lados temos:
E então temos duas possíveis caras para a nossa função inversa:
Passo 3
Para a gente ver qual delas é a forma certa a gente tem que olhar o domínio a imagem que essa função tem que ter:
Pela imagem a gente tem um resultado que pode furar uma daquelas hipóteses ali. A gente tem que ter que a função inversa para tem que ser igual a :
Olhando a primeira hipótese temos:
OPA!! Essa deu certo aqui. Vamos ver a mesma coisa para a segunda hipótese:OLHA LÁ! Essa função não dá um resultado que está na imagem, ou seja, essa não pode ser a nossa função inversa. Então a função inversa é dada por:
😊 Vamos para a próxima?