Seja f(x) = - (x^4) / (x^4 - 4)

(d) Seja α ∈ (0, 1) . Existe solução para a equação f(x) = alpha ? Justifique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se existe solução para f x = α , sabendo que α pertence ao intervalo ( 0 ,   1 ) .

Para isso, vamos igualar nossa função a α , como mostra a condição, e ver se é possível encontrar valores reais para x .

Vamos lá!

Passo 2

Para f x = - x 4 x 4 - 4 , fazendo f x = α , vamos ter:

- x 4 x 4 - 4 = α

Multiplicando ambos os lados por x 4 - 4 :

- x 4 = α ( x 4 - 4 )

Subtraindo α ( x 4 - 4 ) dos dois lados:

- x 4 - α x 4 - 4 = 0

Aplicando a propriedade distributiva:

- x 4 - α x 4 + 4 α = 0

Movendo 4 α para o lado direito:

- x 4 - α x 4 = - 4 α

- x 4 1 + α = - 4 α

Dividindo ambos os lados por - ( 1 + α ) :

x 4 = - 4 α - ( 1 + α )

x 4 = 4 α ( 1 + α )

Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

x 2 = ± 4 α 1 + α

Tirando a raiz novamente:

x = ± 2 α 4 1 + α

Como não há restrições para α em ( 0 ,   1 ) , podemos dizer que existe solução para f x = α .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E x i s t e   s o l u ç ã o

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