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Exercícios Resolvidos de Introdução às funções

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Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 2, GMA, 2008-1, Questão 1

Se f x = 3 x 2 + 2 e g x = 1 3 x + 2 , determine:

  1. ( f + g ) ( x )
  2. f x - 1
  3. f . g x
  4. f g x
  5. g f x
  6. f o g x

Passo 1

(a) Na letra (a) precisamos apenas somar as duas funções, pois

f + g x = f x + g ( x )

Vamos nessa, então.

f + g x = 3 x 2 + 2 + 1 3 x + 2

f + g x = 3 x 2 + 2 3 x + 2 3 x + 2 + 1 3 x + 2

f + g x = 9 x 3 + 6 x + 6 x 2 + 4 + 1 3 x + 2

f + g x = 9 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 5 3 x + 2

Acabou? Quase! Só falta fazer uma pequena observação. Como temos x no denominador, essa função só vai existir se

3 x + 2 ≠ 0

x ≠ - 2 3

Passo 2

(b) Agora temos que elevar a função f ao expoente - 1 . Ora, elevar a - 1 significa inverter a fração. No caso de f teremos

f x = 3 x 2 + 2 1

f x - 1 = 1 3 x 2 + 2

Passo 3

(c) O caso da letra (c) é parecido com o da letra (a), só que com operação de multiplicação.

f . g x = f x . g ( x )

Então

f . g x = ( 3 x 2 + 2 ) 1 3 x + 2

f . g x = 3 x 2 + 2 3 x + 2

Lembrando que, assim como na (a),

x ≠ - 2 3

Passo 4

(d) Para fazer f g x basta dividir f por g :

f g x = f x g x

f g x = 3 x 2 + 2 1 3 x + 2

f g x = ( 3 x 2 + 2 ) . 3 x + 2 1

f g x = 9 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 4

Passo 5

(e) Essa é igualzinha a letra (d), só que com a ordem da divisão trocada.

g f x = 1 3 x + 2 3 x 2 + 2

g f x = 1 ( 3 x + 2 ) ( 3 x 2 + 2 )

g f x = 1 9 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 4

Perceba que o denominador é idêntico ao resultado da letra (d). O que podemos concluir? Que ao inverter a ordem das funções na divisão só estamos invertendo a fração encontrada no item anterior;

g f x = f g x - 1

Passo 6

(f) Esse item pede a composição de funções f o g x . Essa escrita equivale a

f o g x = f ( g x )

Ou seja, usaremos a função g como x para a função f . Observe.

f o g x = 3 1 3 x + 2 2 + 2

f o g x = 3 3 x + 2 2 + 2

f o g x = 3 + 2 ( 3 x + 2 ) ² 3 x + 2 2

f o g x = 3 + 2 ( 9 x 2 + 12 x + 4 ) 9 x 2 + 12 x + 4

f o g x = 3 + 18 x 2 + 24 x + 8 9 x 2 + 12 x + 4

f o g x = 18 x 2 + 24 x + 11 9 x 2 + 12 x + 4

Resposta

a 9 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 5 3 x + 2

b 1 3 x 2 + 2

c 3 x 2 + 2 3 x + 2

d 9 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 4

( e ) 1 9 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 4

( f ) 18 x 2 + 24 x + 11 9 x 2 + 12 x + 4

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